Trong không gian Euclid của n kích thước, các cầu đơn vị là các tập hợp của tất cả các điểm ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})} đáp ứng các phương trình

x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 = 1. {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}

Một quả bóng đơn vị mở là các tập hợp của tất cả các điểm thỏa mãn sự bất đẳng thức

x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 < 1 , {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1,}

và quả bóng đơn vị đóng là các thiết lập của tất cả các điểm thỏa mãn sự bất đẳng thức

x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 ≤ 1. {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.}

Tổng diện tích và công thức thể tích

Phương trình cổ điển của một cầu đơn vị là các nguồn với một bán kính 1 và không thay đổi trong x-, y- hay z- trục:

f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 = 1 {\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}

Thể tích của quả bóng đơn vị trong không gian Euclid n-chiều, và diện tích bề mặt của cầu đơn vị, xuất hiện trong nhiều công thức quan trọng của phân tích. Thể tích của quả bóng đơn vị trong n chiều, mà được ký hiệu Vn, có thể mô tả bằng cách sử dụng phương trình gamma. Nó là

V n = π n / 2 Γ ( 1 + n / 2 ) = { π n / 2 / ( n / 2 ) ! i f   n ≥ 0   i s   e v e n ,   π ⌊ n / 2 ⌋ 2 ⌈ n / 2 ⌉ / n ! ! i f   n ≥ 0   i s   o d d , {\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even,} \\~\\{\pi ^{\lfloor n/2\rfloor }2^{\lceil n/2\rceil }}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~odd,} \end{cases}}}

ở đây n!! là đôi thừa (hay giai thừa kép).

Các hypervolume của (n−1)-chiều cầu đơn vị (tức là, "diện tích" của bề mặt của n-chiều đơn vị bóng), mà chúng ta biểu thị An, có thể biểu diễn như

A n = n V n = n π n / 2 Γ ( 1 + n / 2 ) = 2 π n / 2 Γ ( n / 2 ) , {\displaystyle A_{n}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}\,,}

ở đây đẳng thức cuối giữ chỉ cho n > 0.

Diện tích bề mặt và thể tích cho một số giá trị của {\displaystyle } như sau:

n {\displaystyle n}	A n {\displaystyle A_{n}} (surface area)	V n {\displaystyle V_{n}} (volume)
0	0 ( 1 / 0 ! ) π 0 {\displaystyle 0(1/0!)\pi ^{0}}	0	( 1 / 0 ! ) π 0 {\displaystyle (1/0!)\pi ^{0}}	1
1	1 ( 2 1 / 1 ! ! ) π 0 {\displaystyle 1(2^{1}/1!!)\pi ^{0}}	2	( 2 1 / 1 ! ! ) π 0 {\displaystyle (2^{1}/1!!)\pi ^{0}}	2
2	2 ( 1 / 1 ! ) π 1 = 2 π {\displaystyle 2(1/1!)\pi ^{1}=2\pi }	6.283	( 1 / 1 ! ) π 1 = π {\displaystyle (1/1!)\pi ^{1}=\pi }	3.141
3	3 ( 2 2 / 3 ! ! ) π 1 = 4 π {\displaystyle 3(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=4\pi }	12.57	( 2 2 / 3 ! ! ) π 1 = ( 4 / 3 ) π {\displaystyle (2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi }	4.189
4	4 ( 1 / 2 ! ) π 2 = 2 π 2 {\displaystyle 4(1/2!)\pi ^{2}=2\pi ^{2}}	19.74	( 1 / 2 ! ) π 2 = ( 1 / 2 ) π 2 {\displaystyle (1/2!)\pi ^{2}=(1/2)\pi ^{2}}	4.935
5	5 ( 2 3 / 5 ! ! ) π 2 = ( 8 / 3 ) π 2 {\displaystyle 5(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/3)\pi ^{2}}	26.32	( 2 3 / 5 ! ! ) π 2 = ( 8 / 15 ) π 2 {\displaystyle (2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/15)\pi ^{2}}	5.264
6	6 ( 1 / 3 ! ) π 3 = π 3 {\displaystyle 6(1/3!)\pi ^{3}=\pi ^{3}}	31.01	( 1 / 3 ! ) π 3 = ( 1 / 6 ) π 3 {\displaystyle (1/3!)\pi ^{3}=(1/6)\pi ^{3}}	5.168
7	7 ( 2 4 / 7 ! ! ) π 3 = ( 16 / 15 ) π 3 {\displaystyle 7(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/15)\pi ^{3}}	33.07	( 2 4 / 7 ! ! ) π 3 = ( 16 / 105 ) π 3 {\displaystyle (2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/105)\pi ^{3}}	4.725
8	8 ( 1 / 4 ! ) π 4 = ( 1 / 3 ) π 4 {\displaystyle 8(1/4!)\pi ^{4}=(1/3)\pi ^{4}}	32.47	( 1 / 4 ! ) π 4 = ( 1 / 24 ) π 4 {\displaystyle (1/4!)\pi ^{4}=(1/24)\pi ^{4}}	4.059
9	9 ( 2 5 / 9 ! ! ) π 4 = ( 32 / 105 ) π 4 {\displaystyle 9(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/105)\pi ^{4}}	29.69	( 2 5 / 9 ! ! ) π 4 = ( 32 / 945 ) π 4 {\displaystyle (2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/945)\pi ^{4}}	3.299
10	10 ( 1 / 5 ! ) π 5 = ( 1 / 12 ) π 5 {\displaystyle 10(1/5!)\pi ^{5}=(1/12)\pi ^{5}}	25.50	( 1 / 5 ! ) π 5 = ( 1 / 120 ) π 5 {\displaystyle (1/5!)\pi ^{5}=(1/120)\pi ^{5}}	2.550

ở đây, các giá trị mở rộng thập phân cho n ≥ 2 được làm tròn đến giá trị gần đúng.

Đệ quy

Các giá trị An thỏa mãn đệ quy:

A 0 = 0 {\displaystyle A_{0}=0} A 1 = 2 {\displaystyle A_{1}=2} A 2 = 2 π {\displaystyle A_{2}=2\pi } A n = 2 π n − 2 A n − 2 {\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-2}}A_{n-2}} cho n > 2 {\displaystyle n>2} .

Các giá trị Vn thỏa mãn đệ quy:

V 0 = 1 {\displaystyle V_{0}=1} V 1 = 2 {\displaystyle V_{1}=2} V n = 2 π n V n − 2 {\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}} cho n > 1 {\displaystyle n>1} .

Thứ nguyên phân số

Các công thức cho An và Vn có thể được tính cho số thực bất kỳ n ≥ 0, và có những trường hợp theo đó nó là thích hợp để tìm kiếm diện tích hình cầu hoặc khối lượng bóng khi n không phải là một số nguyên không âm.

Biểu đồ này cho thấy siêu thể tích của một hình cầu (x–1)-chiều (tức là, "diện tích" của bề mặt của x-chiều đơn vị bóng) như là một hàm liên tục của x.Biểu đồ này cho thấy thể tích của một bóng trong x-chiều như một hàm liên tục của x.

Khác bán kính

Diện tích bề mặt của một quả cầu (n-1) chiều có bán kính r là An rn−1 và thể tích của quả bóng đơn vị n-chiều với bán kính r là Vn rn. Ví dụ, diện tích là A = 4π r 2 với bề mặt của quả bóng ba chiều bán kính r. Thể tích là V = 4π r 3 / 3 với quả bóng ba chiều bán kính r.